Introduzione.- Modelli diretti: Il modello radiativo dell'atmosfera.- Modelli diretti: La teoria del raggio sismico.- Regolarizzazione di problemi mal posti.- Teoria dell'inversione statistica.- Metodi ottimali per problemi inversi lineari e non lineari.- Markov Chain Monte Carlo.- I filtri di Kalman.- Assimilazione dei dati.- Il metodo della diffusione inversa.- Applicazioni.- Analisi alle Componenti Principali.- Kriging e Analisi Oggettiva.- Algoritmi di Minimizzazione.- Caratteristiche delle matrici.- Gli integrali di Gauss, da univariati a multivariati.- Variabili Casuali.- Calcolo differenziale.- Spazi funzionali e Integrazione di Monte Carlo.

Non è facile definire che cosa sia un problema inverso anche se, ogni giorno facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi. Ad esempio riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo al lavoro o passeggiamo, riconoscere una persona conosciuta tanti anni prima etc. Eppure la nostra cultura non ha ancora sfruttato appieno queste nostre capacità, anzi ci insegna la realtà utilizzando i metodi diretti. Ad esempio ai bambini viene insegnato a fare di conto utilizzando le quattro operazioni. Guardiamo ad esempio la moltiplicazione, essa è basata sul fatto che presi due fattori e moltiplicati tra di loro si ottiene il loro prodotto. Il corrispondente problema inverso è quello di trovare un paio di fattori che diano quel numero. Noi sappiamo che questo problem
può anche non avere una unica soluzione. Infatti nel cercare di imporre una unicità della soluzione utilizziamo i numeri primi aprendo un mondo matematico complesso.
Probabilmente il più antico problema inverso fu fatto da Erodoto, attraverso l'interpolazione lineare. Il problema diretto è quello di di calcolare una funzione lineare, che fornisce un risultato quando si introducono due numeri, ma un problema inverso come quello dell'interpolazione lineare può avere una soluzione, nessuna soluzione, infinite soluzioni in relazione al numero e alla natura dei punti. Poiché esiste una stretta dipendenza tra il problema diretto e quello inverso, è buona norma impratichirsi con il problema diretto prima di affrontare il problema inverso. Questo approccio richiede che, soprattutto quando si ha a che fare con modelli fisico matematici, si sviluppi una strategia sul modello diretto, utilizzando tutti gli strumenti della conoscenza. Ad esempio cercare le soluzioni di tutte le possibili combinazioni che possono essere ottenute utilizzando vari dati di input; fare una presentazione grafica dei risultati che ci permettono, da una o più curve, ricavare i
limiti di utilizzabilià del modello. Iproblemi inversi hanno avuto una notevole influenza sulla scienza, anche se l'approccio convenzionale è quello di privilegiare il problema diretto. Tuttavia con l'avvento dei calcolatori i problemi inversi hanno beneficiato di parecchi vantaggi tra cui quello di meglio controllare le instabilità computazionali e di affrontare problemi che richiedevano un grande sforzo computazionale, se fatti a mano, che non avrebbero portato ad alcun risultato tangibile. Nonostante questo le percentuali di successo per la soluzione dei problemi inversi sono ancora basse e quindi c'è necessità di nuovo e più approfondito lavoro che questo libro i tratteggia fornendo lo stato dell'arte della scienza dei problemi inversi con appliczioni alla geofisica, fisica dell'atmosfera e dell'oceano e terilevamento da satellite.