I. Maßtheoretische Grundlagen.- § 1. Die Mengenalgebra.- § 2. Mengenkörper.- a) Allgemeine Definitionen.- b) Ein Beispiel im Rn.- c) Das direkte Produkt von Mengenkörpern.- § 3. Punkt- und Mengenfunktionen.- a) Der allgemeine Fall.- b) Der Spezialfall des geometrischen Inhalts.- § 4. Konstruktion eines Maßes aus einem Inhalt.- § 5. Intervallmaße im Rn.- a) Verteilungsfunktionen.- b) Maßdefinierende Funktionen.- II. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff.- § 1. Die intuitive Wahrscheinlichkeit.- § 2. Die naturwissenschaftliche Wahrscheinlichkeit.- § 3. Die Häufigkeitsinterpretation und die Normierungsforderung.- § 4. Der mathematische Wahrscheinlichkeitsbegriff.- III. Die Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie.- § 1. Die Grundbegriffe.- a) Die Axiome des naturwissenschaftlichen Wahrscheinlichkeitsbegriffs.- b) Verallgemeinerung des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit.- § 2. Die Grundtheoreme im Fall der Laplace-Experimente.- § 3. Die allgemeine Gültigkeit der Grundtheoreme.- § 4. Einige einfache Folgerungen aus den beiden Grundtheoremen.- a) Folgerungen aus dem Additionssatz.- b) Folgerungen aus dem Multiplikationssatz.- § 5. Behandlung einiger Aufgaben.- § 6. Relaisexperimente und Bayessches Theorem.- a) Das Relaisexperiment.- b) Das Umkehrproblem.- § 7. Zufällige Größen.- a) Die zufällige Größe und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung.- b) Der Erwartungswert und die erzeugende Funktion.- § 8. Der Übergang zur abstrakten Wahrscheinlichkeitstheorie.- IV. Elemente der Integrationstheorie.- § 1. ?-meßbare Funktionen.- a) Definition.- b) Überpflanzung auf andere Mengen.- c) Konvergenzbegriffe.- § 2. ?-integrable Funktionen.- a) Die allgemeine Theorie.- b) Lebesgue-Stieltjes-Integrale.- § 3. Quadratintegrierbarkeit.- § 4. Maßprodukte.- a) Das Produktmaß auf endlichen Mengenprodukten.- b) Das Produktmaß auf unendlichen Mengenprodukten.- c) Der Satz von Kolmogoroff.- V. Zufällige Größen auf allgemeinen Wahrscheinlichkeitsfeldern.- § 1. Idealisierte Experimente und Vergröberungen.- § 2. Wahrscheinlichkeitsdichten.- a) Allgemeines.- b) Transformation von Wahrscheinlichkeitsdichten.- § 3. Unabhängige zufällige Größen.- a) Der abstrakte Unabhängigkeitsbegriff.- b) Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- § 4. Erwartungswerte, Momente, Varianzen.- a) Der Erwartungswert.- b) Die Momente einer zufälligen Größe.- c) Die Momente bei mehreren zufälligen Größen.- § 5. Bedingte Erwartungswerte und Verteilungen.- a) Bedingte Erwartungswerte.- b) Bedingte Verteilungsfunktionen.- c) Iterierte Erwartungswerte.- d) Allgemeine Faltungsformel und BAYEssches Theorem für Dichten.- § 6. Charakteristische Funktionen zufälliger Größen.- a) Definition und einfache Eigenschaften.- b) Einige Beispiele.- c) Weitere Eigenschaften.- d) Umkehrformeln.- § 7. Die Konvergenz von Verteilungsfunktionen.- a) Die v.-Konvergenz.- b) Beschreibung der charakteristischen Funktionen durch ihre funktionellen Eigenschaften.- VI. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- § 1. Die ?-Funktion und die ?-Verteilungen.- § 2. Die Multinomialverteilungen.- a) Die Binomialverteilung und die PoissoN-Verteilung.- b) Die Polynomialverteilung.- § 3. Die Gauss-Verteilung.- a) Der eindimensionale Fall.- b) Der n-dimensionale Fall.- c) Charakterisierung der Normalverteilung durch innere Eigenschaften.- § 4. Einige mit der Normalverteilung zusammenhängende Verteilungen.- a) Die ?2-Verteilung.- b) Die t-Verteilung.- c) Die F-Verteilung.- d) Die T2-Verteilung.- VII. Die Konvergenz zufälliger Größen.- § 1. Definitionen und allgemeine Sätze.- a) Die wahrscheinlichkeitstheoretischen Konvergenzbegriffe.- b) Die Konvergenz des Erwartungswertes.- c) BAIREsche Eigenschaften.- d) Null-Eins-Gesetze.- § 2. Grenzwertsätze für Bernoulli-Experimente.- § 3. Allgemeine Konvergenzkriterien.- a) Das Prinzip der äquivalenten Folgen.- b) Kriterien für das schwache Gesetz der großen Zahlen.- c) Kriterien für starke Konvergenz.- § 4. Der zentrale Grenzwertsatz.- Lösungen der Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein relativ junges Teilgebiet der Mathematik, das eigentlich erst in den letzten Jahrzehnten durch die Verwendung maBtheoretischer Begriffsbildungen eine befriedigende For­ mulierung gefunden hat. So darf man den Beginn der modernen Wahr­ scheinlichkeitsrechnung wohl urn die Zeit des 1933 erschienenen Heftes "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" von A. KOLMOGOROFF in der Reihe "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete" an­ setzen. Seitdemhat man nicht nur gelernt, die verschiedenen klassischen Ergebnisse von einem einheitlichen Gesichtspunkt aus zu verstehen; sondern viele Probleme konnten uberhaupt erst durch die Verwendung der maBtheoretischen Hilfsmittel in der erforderlichen Allgemeinheit formuliert und behandelt werden. Ich denke hier vor allem an die Theorie der stochastischen Prozesse, an die Spieltheorie und an die Theorie der statistischen Entscheidungsverfahren. Die im deutsch­ sprachigen Schrifttum vorliegenden Lehrbucher der Wahrscheinlich­ keitsrechnung sind, abgesehen von einigen kleineren Einfiihrungen in die klassische Theorie, vor dem Beginn der neuen Entwicklung verfaBt worden. Sie k6nnen daher den heutigen Anspruchen nicht mehr ge­ nugen. Den Studenten und auch den Dozenten ist es damit sehr schwer gemacht, den Vorsprung wieder einzuholen, den die auslandische Wissen­ schaft in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in ihren Anwendungs­ gebieten gerade in den entscheidenden Jahren nach 1933 gewonnen hat. Hier liegt also eine Lucke vor, die ich versuchen will, durch dieses Lehr­ buch etwas auszufullen. Ohne die klassische Theorie zu sehr zu ver­ nachlassigen, m6chte ich den Leser soweit in die heutige Wahrschein­ lichkeitstheorie einfuhren, daB er in der Lage ist, auch schwierigere Untersuchungen zu studieren.