Historische Einführung.- A. Elemente der Funktionentheorie.- 0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen.- § 1. Der Körper ? der komplexen Zahlen.- 1. Der Körper ?.- 2. ?-lineare und ?-lineare Abbildungen ???.- 3. Skalarprodukt und absoluter Betrag - 4. Winkeltreue Abbildungen.- § 2. Topologische Grundbegriffe.- 1. Metrische Räume.- 2. Offene und abgeschlossene Mengen.- 3. Konvergente Folgen. Häufungspunkte.- 4. Historisches zum Konvergenzbegriff.- 5. Kompakte Mengen.- § 3. Konvergente Folgen komplexer Zahlen.- 1. Rechenregeln.- 2. Cauchysches Konvergenzkriterium. Charakterisierung kompakter Mengen in ?.- § 4. Konvergente und absolut konvergente Reihen.- 1. Konvergente Reihen komplexer Zahlen.- 2. Absolut konvergente Reihen. Majorantenkriterium.- 3. Umordnungssatz.- 4. Historisches zur absoluten Konvergenz.- 5. Bemerkungen zum Riemannschen Umordnungssatz -.- 6. Reihenproduktsatz.- § 5. Stetige Funktionen.- 1. Stetigkeitsbegriff.- 2. Die ?-Algebra ?(X).- 3. Historisches zum Funktionsbegriff.- 4. Historisches zum Stetigkeitsbegriff.- § 6. Zusammenhängende Räume. Gebiete in ?.- 1. Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff.- 2. Wege und Wegzusammenhang.- 3. Gebiete in ?.- 4. Zusammenhangskomponenten von Bereichen.- 5. Rand und Randabstand.- 1. Komplexe Differentialrechnung.- § 1. Komplex differenzierbare Funktionen.- 1. Komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.- 3. Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.- § 2. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit.- 1. Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.- 2. Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.- 3. Beispiele zu den Cauchy-Riemannschen Gleichungen.- 4. Harmonische Funktionen.- § 3. Holomorphe Funktionen.- 1. Differentiationsregeln.- 2. Die ?-Algebra O(D).- 3. Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen.- 4. Historisches zur Notation.- § 4. Partielle Differentiation nach x, y, z und z.- 1. Die partiellen Ableitungen fx,fy,fz,f¯z.- 2. Beziehungen zwischen den Ableitungen ux,uy,vx,vy, fx,fy,fz,f¯z.- 3. Die Cauchy-Riemannsche Differends tialgleichung $${{\partial f} \over {\partial \bar z}} = 0 - 4$$.- 4. Kalkül der Differentialoperatoren ? und ¯?.- 2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen.- § 1. Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.- 1. Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie.- 2. Winkel- und Orientierungstreue, Holomorphie.- 3. Geometrische Deutung der Winkeltreue.- 4. Zwei Beispiele - 5. Historisches zur Winkeltreue.- § 2. Biholomorphe Abbildungen.- 1. Komplexe 2×2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen.- 2. Die biholomorphe Cayleyabbildung $${\rm{H}}\tilde \to {\rm{E,}}\,z \mapsto {{z - i} \over {z + i}} - 3$$.- 3. Bemerkungen zur Cayleyabbildung.- 4.* Bijektive holomorphe Abbildungen von IH und von IE auf die geschlitzte Ebene.- § 3. Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreises.- 1. Automorphismen von IH.- 2. Automorphismen von IE.- 3. Die Schreibweise $$\eta {{z - w} \over {\bar wz - 1}}$$ für Automorphismen von IE.- 4. Homogenität von IE und IH.- 3. Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie.- § 1. Gleichmä×ige, lokal-gleichmä×ige und kompakte Konvergenz.- 1. Gleichmä×ige Konvergenz.- 2. Lokal-gleichmä×ige Konvergenz.- 3. Kompakte Konvergenz.- 4. Historisches zur gleichmä×igen Konvergenz.- 5.* Kompakte und stetige Konvergenz.- § 2. Konvergenzkriterien.- 1. Cauchysches Konvergenzkriterium.- 2. Weierstra×sches Majorantenkriterium.- § 3. Normal konvergente Reihen.- 1. Normale Konvergenz.- 2. Diskussion der normalen Konvergenz.- 3. Historisches zur normalen Konvergenz.- 4. Potenzreihen.- § 1. Konvergenzkriterien.- 1. Abelsches Konvergenzlemma.- 2. Konvergenzradius.- 3. Formel von CAUCHY-HADAMARD.- 4. Quotientenkriterium.- 5. Historisches zu konvergenten Potenzreihen.- §2. Beispiele konvergenter Potenzreihen.- 1. Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Eulersche Formel.- 2. Logarithmische Reihe und Arcustangensreihe.- 3. Binomische Reihe.- 4.* Konvergenzverhalten auf dem Rand.- 5.* Abelscher Stetigkeitssatz.- § 3. Holomorphie von Potenzreihen.- 1. Formale gliedweise Differentiation und Integration.- 2. Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz.- 3. Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen.- 4. Beispiele holomorpher Funktionen.- § 4. Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen.- 1. Ordnungsfunktion.- 2. Einheitensatz.- 3. Normalform konvergenter Potenzreihen.- 4. Bestimmung aller Ideale.- 5. Elementar-transzendente Funktionen.- § 1. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen.- 1. Charakterisierung von exp z durch die Differentialgleichung.- 2. Additionstheorem der Exponentialfunktion.- 3. Bemerkungen zum Additionstheorem.- 4. Additionstheoreme für cos z und sin z.- 5. Historisches zu cos z und sin z.- 6. Hyperbolische Funktionen.- §2. Epimorphiesatz für exp z und Folgerungen.- 1. Epimorphiesatz.- 2. Die Gleichung Kern(exp) = 27i?.- 3. Periodizität von exp z.- 4. Wertevorrat, Nullstellen und Periodizität von cos z und sin z.- 5. Cotangens- und Tangensfunktion. Arcustangensreihe.- 6. Die Gleichung $${e^{i{\pi \over 2}}} = i$$.- §3. Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Einheitswurzeln.- 3. Singulare Punkte und natürliche Grenzen.- 4. Historisches zu natürlichen Grenzen.- § 4. Logarithmusfunktionen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Existenz von Logarithmusfunktionen.- 3. Die Eulersche Folge (1 +z/n)n.- 4. Hauptzweig des Logarithmus.- 5. Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen.- § 5. Diskussion von Logarithmusfunktionen.- 1. Zu den Identitäten log(wz) = logw+logz und log(expz) = z.- 2. Logarithmus und Arcustangens.- 3. Potenzfunktionen. Formel von NEWTON-ABEL.- 4. Die Riemannsche ?-Funktion.- B. Cauchysche Funktionentheorie.- 6. Komplexe Integralrechnung.- § 0. Integration in reellen Intervallen.- 1. Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschätzung.- 2. Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- § 1. Wegintegrale in ?.- 1. Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege.- 2. Integration längs Wegen.- 3. Die Integrale $$\int\limits_{\partial B} {{{\left( {\zeta - c} \right)}^n}d} \zeta$$.- 4. Historisches zur Integration im Komplexen.- 5. Unabhängigkeit von der Parametrisierung.- 6. Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen.- § 2. Eigenschaften komplexer Wegintegrale.- 1. Rechenregeln.- 2. Standardabschätzung.- 3. Vertauschungssätze.- 4. Das Integral$${1 \over {2\pi i}}\int\limits_{\partial B} {{{d\zeta } \over {\zeta - z}}} $$.- § 3. Wegunabhängigkeit von Integralen. Stammfunktionen.- 1. Stammfunktionen.- 2. Bemerkungen über Stammfunktionen. Integrabilitätskriterium.- 3. Integrabilitätskriterium für Sterngebiete.- 7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung.- § 1. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 1. Integrallemma von GOURSAT.- 2. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 3. Historisches zum Integralsatz.- 4. Historisches zum Integrallemma.- 5.* Reeller Beweis des Integrallemmas.- 6.* Die Fresnelschen Integrale.- 7.* Das Integral Integral$$I\left( z \right): = \int\limits_0^\infty {{t^{ - 1}}\left( {{e^{ - t}} - {e^{ - tz}}} \right)dt} $$.- § 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 1. Verschärfung des Cauchyschen Integralsatzes für Sterngebiete.- 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 3. Historisches zur Integralformel.- 4.* Die Cauchysche Integralformel für reell stetig differenzierbare Funktionen.- 5 * Schwarzsche Integralformel.- § 3. Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen.- 1. Entwicklungslemma.- 2. Entwicklungssatz von CAUCHY-TAYLOR.- 3. Historisches zum Entwicklungssatz.- 4. Riemannscher Fortsetzungssatz.- 5. Historisches zum Riemannschen Fortsetzungssatz.- § 4. Diskussion des Entwicklungssatzes.- 1. Holomorphie und unendlich häufige komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Umbildungssatz.- 3. Analytische Fortsetzung.- 4. Produktsatz für Potenzreihen.- 5. Bestimmung von Konvergenzradien.- § 5.* Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen.- 1. Taylorreihe von $${\rm{von}}\,z{\left( {{e^z} - 1} \right)^{ - 1}}$$. Bernoullische Zahlen.- 2. Taylorreihen von z cotz, tan z und $${z \over {\sin \,z}}$$.- 3. Potenzsummen und Bernoullische Zahlen.- 4. Bernoullische Polynome.- C. Cauchy-Weierstra×-Riemannsche Funktionentheorie.- 8. Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen.- § 1. Identitätssatz.- 1. Identitätssatz.- 2. Historisches zum Identitätssatz.- 3. Diskretheit und Abzählbarkeit der a-Stellen.- 4. Nullstellenordnung und Vielfachheit.- 5. Existenz singulärer Punkte.- §2. Der Holomorphiebegriff.- 1. Holomorphie, lokale Integrabilität und konvergente Potenzreihen.- 2. Holomorphie von Integralen.- 3. Holomorphie, Winkel- und Orientierungstreue (endgültige Fassung).- 4. Cauchyscher, Riemannscher und Weierstra×scher Standpunkt. Das Glaubensbekenntnis von WEIERSTRASS.- § 3. Cauchysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorkoeffizienten.- 1. Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen in Kreisscheiben.- 2. Gutzmersche Formel. Maximumprinzip.- 3. Ganze Funktionen. Satz von LIOUVILLE.- 4. Historisches zu den Cauchyschen Ungleichungen und zum Satz von LIOUVILLE.- 5.* Beweis der Cauchyschen Ungleichungen nach WEIERSTRASS.- §4. Konvergenzsätze von WEIERSTRASS.- 1. Weierstra×scher Konvergenzsatz.- 2. Differentiationssätze für Reihen. Weierstra×scher Doppelreihensatz.- 3. Historisches zu den Konvergenzsätzen.- 4. Konvergenzsatz für Folgen von Stammfunktionen.- 5.* Eine Bemerkung WEIERSTRASS' zur Holomorphie.- 6.* Eine Konstruktion von WEIERSTRASS.- § 5. Offenheitssatz und Maximumprinzip.- 1. Offenheitssatz.- 2. Maximumprinzip.- 3. Historisches zum Maximumprinzip.- 4. Verschärfung des Weierstra×schen Konvergenzsatzes.- 5. Satz von HURWITZ.- 9. Miscellanea.- § 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 2. Vier Beweise des Fundamentalsatzes.- 3. Satz von GAUSS über die Lage der Nullstellen von Ableitungen.- § 2. Schwarzsches Lemma und die Gruppen Aut IE, Aut H.- 1. Schwarzsches Lemma.- 2. Mittelpunktstreue Automorphismen von IE. Die Gruppen Aut und Aut H.- 3. Fixpunkte von Automorphismen.- 4. Historisches zum Schwarzschen Lemma.- 5. Lemma von SCHWARZ-PICK.- 6. Satz von STUDY.- § 3. Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln.- 1. Logarithmische Ableitung. Existenzlemma.- 2. Homologisch einfach zusammenhängende Bereiche. Existenz holomorpher Logarithmusfunktionen.- 3. Holomorphe Wurzelfunktionen.- 4. Die Gleichung $$f\left( z \right) = f\left( c \right)\exp \int\limits_\gamma {{{f'\left( \zeta \right)} \over {f\left( \zeta \right)}}} d\zeta $$.- 5. Die Kraft der Quadratwurzel.- §4. Biholomorphe Abbildungen. Lokale Normalform.- 1. Biholomorphiekriterium.- 2. Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbildungen.- 3. Lokale Normalform.- 4. Geometrische Interpretation der lokalen Normalform.- 5. Faktorisierung holomorpher Funktionen.- § 5. Allgemeine Cauchy-Theorie.- 1. Die Indexfunktion indv(z).- 2. Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- 3. Beweis von iii)?ii) nach DIXON.- 4. Nullhomologie. Charakterisierung homologisch einfach zusammenhängender Bereiche.- §6.* Asymptotische Potenzreihenentwicklungen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asymptotischer Entwicklungen.- 3. Asymptotische Entwicklungen und Differentiation.- 4. Satz von RITT.- 5. Satz von E. BOREL.- 10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen.- § 1. Isolierte Singularitäten.- 1. Hebbare Singularitäten. Pole.- 2. Entwicklung von Funktionen um Polstellen.- 3. Wesentliche Singularitäten. Satz von CASORATI und WEIERSTRASS.- 4. Historisches zur Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 2.* Automorphismen punktierter Bereiche.- 1. Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen.- 2. Die Gruppen Aut? und Aut?×.- 3. Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche.- 4. Starre Gebiete.- § 3. Meromorphe Funktionen.- 1. Definition der Meromorphie.- 2. Die ?-Algebra M(D) der in D meromorphen Funktionen.- 3. Division von meromorphen Funktionen.- 4. Die Ordnungsfunktion oc.- 11. Konvergente Reihen meromorpher Funktionen.- § 1. Allgemeine Konvergenztheorie.- 1. Kompakte und normale Konvergenz.- 2. Rechenregeln.- 3. Beispiele.- § 2. Die Partialbruchentwicklung von ? cot ? z.- 1. Cotangens und Verdopplungsformel. Die Identität ? cot ?z = ?1(z).- 2. Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis.- 3. Partialbruchreihen für $${{{\pi ^2}} \over {{{\sin }^2}\pi z}}{\rm{und}}{\pi \over {\sin \pi z}} - 4*.$$ Charakterisierung des Cotangens durch sein Additionstheorem bzw. seine Differentialgleichung.- § 3. Die Eulerschen Formeln für $$\sum\limits_{v \ge 1} {{1 \over {{v^{2n}}}}} $$.- 1. Entwicklung von ?1(z) um 0 und Eulersche Formeln für ?(2n).- 2. Historisches zu den Eulerschen ?(2n)-Formeln.- 3. Differentialgleichung für ?1 und eine Identität für Bernouliische Zahlen.- 4. Die Eisensteinreihen $${\varepsilon _k}\left( z \right): = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {{1 \over {{{\left( {z + v} \right)}^k}}}} $$.- § 4* EISENSTEIN-Theorie trigonometrischer Funktionen.- 1. Additionstheorem.- 2. Eisensteins Grundformeln.- 3. Weitere Eisensteinsche Formeln und die Identität ?1(z) = cot ?z.- 4. Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach EISENSTEIN.- 12. Laurentreihen und Fourierreihen.- § 1. Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen.- 1. Cauchytheorie für Kreisringe.- 2. Laurentdarstellung in Kreisringen.- 3. Laurententwicklungen.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zum Satz von LAURENT.- 6.* Herleitung des Satzes von LAURENT aus dem Satz von CAUCHY-TAYLOR.- § 2. Eigenschaften von Laurentreihen.- 1. Konvergenzsatz und Identitätssatz.- 2. Gutzmersche Formel und Cauchysche Ungleichungen.- 3. Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 3. Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen.- 1. Streifengebiete und Kreisringe.- 2. Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten.- 3. Fourierentwicklung in Streifengebieten.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zu Fourierreihen.- §4. Die Thetafunktion.- 1. Konvergenzsatz.- 2. Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.- 3. Die Fourierreihe von $${e^{ - {z^2}\pi \tau }}\vartheta \left( {i\tau z,\tau } \right)$$.- 4. Transformationsformel der Thetafunktion.- 5. Historisches zur Thetafunktion.- 6. über das Fehlerintegral.- 13. Residuenkalkül.- § 1. Residuensatz.- 1. Einfach geschlossene Wege.- 2. Das Residuum.- 3. Beispiele.- 4. Residuensatz.- 5. Historisches zum Residuensatz.- § 2. Folgerungen aus dem Residuensatz.- 1. Das Integral $${1 \over {2\pi i}}\int\limits_\gamma {F\left( \zeta \right){{f'\left( \zeta \right)} \over {f\left( \zeta \right) - a}}d\zeta } $$.- 2. Anzahlformel für Null- und Polstellen.- 3. Satz von ROUCHÈ.- 14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül.- § 1. Berechnung von Integralen.- 0. Uneigentliche Integrale.- 1. Trigonometrische Integrale $$\int\limits_0^{2\pi } {R\left( {\cos \varphi ,\,\sin \varphi } \right)d\varphi } $$.- 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)dx} $$.- 3. Das Integral $$
\int\limits_{0}^{\infty } {\frac{{{{x}^{{m - 1}}}}}{{1 + {{x}^{n}}}}dx{\text{ f\& \# x00FC;r m, n}} \in \mathbb{N},{\text{ 0}} < {\text{m}} < {\text{n}}}
$$.- § 2. Weitere Integralauswertungen.- 1. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {g\left( x \right){e^{iax}}dx} $$.- 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_0^\infty {q\left( x \right){x^{a - 1}}dx} $$.- 3. Die Integrale $$\int\limits_0^\infty {{{{{\sin }^n}x} \over {{x^n}}}dx} $$.- § 3. Gau×sche Summen.- 1. Abschätzung von $$ \frac{{{{e}^{{uz}}}}}{{{{e}^{z}} - 1}}{\text{ f\& \# x00FC;r 0}} \leqslant {\text{u}} \leqslant {\text{1 - 2}}{\text{.}} $$.- 2. Berechnung der Gau×schen Summen $${G_n}: = \sum\limits_0^{n - 1} {{e^{{{2\pi i} \over n}{v^2}}}} ,n \ge 1$$.- 3. Direkter residuentheoretischer Beweis der Formel $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt = \sqrt \pi } $$.- 4. Fourierreihen der Bernoullischen Polynome.- Photographie von Riemanns Grabplatte.- Literatur.- Klassische Literatur zur Funktionentheorie.- Lehrbuchliteratur zur Funktionentheorie.- Literatur zur Geschichte der Funktionentheorie und der Mathematik.- Symbolverzeichnis.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker 2,.