In seinen Untersuchungen über Integralgleichungen wurde HILBERT zum Begriff des unendlichen Folgenraumes ~ geführt. Die Elemente von ~ sind die "Vektoren" a mit unendlichvielen Komponenten (al' a, ... ) und von endlicher Norm Ilall = [iai]i; das innere Pro- 2 .1:=1 CX) dukt (a, b) der Vektoren a und b wird dann durch 1: aj;bj; definiert . .1:-1 Die Geometrie dieses Raumes hat viele Analogien zur Geometrie eines endlichdimensionalen Vektorraumes, es treten aber beim Übergang vom endlich- zum unendlichdimensionalen freilich auch neue Erschei­ nungen auf. Ist A eine lineare Transformation des n-dimensionalen Vektor­ raumes ffi", deren Matrix symmetrisch ist, so weiß man z. B., daß es paarweise orthogonale Einheitsvektoren a , all' ... , a,. und reelle Zah­ l len Ä , Ä, ... , Ä" (Ä -< Ä+ ) derart gibt, daß Aall = Ällall gilt; Ä ist l t ll II I ll ein Eigenwert von A, all ist ein zu Ä gehöriger Eigenvektor von A. h - Dagegen gibt es in ~ lineare Transformationen A mit symmetrischer (unendlicher) Matrix, für die die Gleichung A a = Äa gar keine Lösung a besitzt, was auch der Wert des Parameters Ä sei.

I. Grundbegriffe.- II. Beschränkte selbstadjungierte und normale Transformationen.- III. Integrale beschränkter Funktionen in bezug auf eine Spektralschar.- IV. Kanonische Spektraldarstellungbeschränkter selbstadjungierter und normaler Transformationen.- V. Verallgemeinerung des Begriffs einer Transformation. Nichtbeschränkte selbstadjungierte und normale Transformationen.- VI. Symmetrische Transformationen.- VII. Integrale allgemeiner Funktionen in bezug auf eine Spektralschar.- VIII. Kanonische Spektraldarstellung allgemeiner selbstadjungierter und normaler Transformationen.- IX. Über das Spektrum einer Transformation.- X. Funktionen selbstadj ungierter oder normaler Transformationen.- XI. Spektraldarstellung von Gruppen und Halbgruppen linearer Transformationen.- Zeichenregister.- Nachtrag.